菱形是什么图形

菱形是什么图形

我们知道，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，显然把菱形沿着对角线所在的直线折叠，能够与它本身完全重合，说明菱形是关于对角线对称的轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，而菱形的对角线互相垂直，所以它又是中心对称图形。利用菱形的对称性，可以说明某些线段、角相等或说明三角形全等。

如图1，E是菱形ABCD的对角线AC上一点，则ΔABE≌ΔADE, ΔBCE≌ΔDCE．这个结论具有一般性，很多有关菱形的题都有该图的\"影子\"，因而利用这个基本图形的结论可以简捷地解决问题．

类型1 利用菱形的对称性求角度

1．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（ ）

A．75° B．70° C．60° D．55°

【解答】连接BD，BF，∵∠BAD=70°，∴∠ADC=110°，

又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA=35°，

∴∠CDF=110°﹣35°=75°．故选A．

【方法提示】解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．

2．如图，四边形ABCD和四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上，已知∠BAD=110°，∠EAF=50°，求：

（1）∠ABD的度数；

（2）∠BAE的度数．

【解答】（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠ABD=∠CBD，

∵∠BAD=110°，∴∠ABD=∠ADB=1/2（180°﹣110°）=35°；

（2）∵∠EAF=50°，四边形AECF是菱形，

∴AE=AF，则∠AEF=∠AFE=65°，∴∠BAE=65°﹣35°=30°．

类型2 利用菱形的对称性求线段长

3.如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为________ ．（提示：根据轴对称的性质）

【分析】首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．

【解答】连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，

∴点B关于AC的对称点为D，

∴FD＝FB，∴FE+FB＝FE+FD≥DE．

只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），

△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，

∴△ABD是等边三角形．

∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，

【点评】此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，容易出现错误的地方是对点F的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使EF+BF成为最小值．

4．如图，在菱形ABCD中，AC=8cm，BD=6cm，第一次平移将菱形ABCD沿射线AC方向向右平移6cm得菱形A1B1C1D1，第二次平移将菱形A1B1C1D1沿射线AC方向向右平移6cm得菱形A2B2C2D2，…第n次平移将菱形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿射线AC方向向右平移6cm得菱形AnBnCnDn，（n＞2）

（1）填空：AC1=_____ ，AC2=______ ，ACn=____ ；

（2）若ACn的长为68cm，求n．

【分析】（1）根据平移的性质得出AA1=6cm，A1A2=6cm，A2C1=A1C1﹣A1A2=8﹣6=2，进而求出AC1和AC2的长，再得到一般性规律即可求出ACn的长；

（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而得出ACn=（n+1）×6+2=68，求出n即可．

【解答】（1）∵AC=8cm，BD=6cm，第一次平移将菱形ABCD沿射线AC方向向右平移6cm得菱形A1B1C1D1，第二次平移将菱形A1B1C1D1沿射线AC方向向右平移6cm得菱形A2B2C2D2，

∴AA1=6cm，A1A2=6cm，A2C1=A1C1﹣A1A2=8﹣6=2，∴AC1=AA1+A1A2+A2C1=6+6+2=14，

∴AB2的长为：6+6+6+2=20，∴ACn=（n+1）×6+2=6n+8，

故答案为：14，20，6n+8；

（2）∵ACn=（n+1）×6+2，∴（n+1）×6+2=68，解得：n=10．

类型3 利用菱形的对称性求面积

5．如图，点F是菱形ABDC对角线BC上一动点，EF∥AB，GF∥AC，菱形两条对角线BC和AD的长分别为2cm、5cm，当点F在BC上移动时，阴影面积会改变吗？如果不变，请求出阴影部分的面积．

【解答】∵EF∥AB，GF∥AC，∴四边形CGFE是平行四边形，

∴CO=OF，OE=OG，CE=GF，∴△CEO≌△FGO．

∴阴影面积不会改变，且为菱形的面积的一半．S阴影=BC•AD=2.5．

6.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）

A．20m B．25m C．30m D．35m

【解答】如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，

∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，

∴BG=GM=2.5（m），同理可证：AF=EF=2.5（m）

∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），

故选：C．

类型4 利用菱形的对称性确定线段或角相等问题

7．如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E，求证：∠AFD=∠CBE．

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BCE=∠DCE，BC=CD，AB∥CD，∴∠AFD=∠CDE，

在△BCE和△DCE中

∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE=∠CDE，

∵∠AFD=∠CDE，∴∠AFD=∠CBE．

8．已知：如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点M，N分别在BC和CD上，且∠MAN=60°．

（1）求证：AM=AN；

（2）比较点M到直线AB的距离与点N到直线BC的距离，并证明你的结论．

【解答】（1）证明：如图，连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，

∴∠CAB=∠CAD=∠ACB=∠ACD=60°，AB=BC=CD=AD，

∴△ABC、△ACD等式等边三角形，∴∠B=60°，AB=AC，

∵∠BAC=∠MAN，∴∠BAM=∠CAN，

在△AMB和△ACN中，

∴△BAM≌△CAN，∴AM=AN．

（2）结论：点M到直线AB的距离与点N到直线BC的距离相等．

证明：作ME⊥AB，NF⊥CA，NH⊥BC，垂足分别为E、F、H．

∵∠BCD=120°，∴∠NCH=60°=∠NCF，∴NH=NF，

∵△BAM≌△CAN，∴S△ABM=S△ACN，∴1/2•AB•ME=1/2•AC•NF，

∵AB=AC，∴ME=NF，∴NF=ME，

∴点M到直线AB的距离与点N到直线BC的距离相等．

【方法点拨】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形对应边上的高相等解决问题．

综上所述，利用图形的对称性研究图形的性质，再利用其性质可以探求、说明几何题．在这方面多进行尝试，对提高分析问题、解决问题的能力是大有裨益的．